Упражнение для ума: тессеракт в четвертом измерении

Высота, ширина и глубина — они очерчивают мир вокруг нас. Эти три измерения так же естественны и знакомы, как и все остальное, даже тыльная сторона нашей руки.

Однако науке иногда, на самом деле часто, нужно выходить за рамки этих знакомых трех измерений. Эйнштейн в своей эпической теории общей теории относительности с большим успехом постулировал четырехмерную структуру пространства-времени. Физики, для субатомных частиц, работают в измерениях и симметрии в измерениях, за пределами нашей знакомой тройки. Когда астрономы говорят о событиях в самом начале Большого взрыва, они выдвигают гипотезу о дополнительных измерениях, измерениях, которые рухнули до нашего нынешнего списка трех пространственных измерений, пресловутой высоты, ширины и глубины.

Таким образом, дополнительные измерения играют важную роль в осмыслении мира при построении строгих научных теорий. Но поскольку мы привязаны к нашим трем измерениям, нам трудно представить измерения за пределами наших знакомых трех. Когда мы создаем мысленные картины, у нас просто нет места, чтобы с готовностью добавить дополнительное измерение.

Итак, давайте сделаем небольшую гимнастическую гимнастику и посмотрим, сможем ли мы преодолеть наши умственные ограничения при изображении дополнительных измерений. Наш подход будет заключаться в том, чтобы исследовать четвертое пространственное измерение и сделать это путем исследования конкретного объекта, тессеракта или четырехмерного куба. Этот объект знаком и незнаком; Тессеракт знаком в том смысле, что он принадлежит семейству кубов, то есть имеет стороны, которые являются квадратами, подобными кубу, и линиями, которые соединяются под прямым углом, как куб. Тессеракт, однако, незнаком в том смысле, что тессеракт — это геометрическая фигура, редко упоминаемая, но, что более важно, в том, что тессеракт требует четырех пространственных направлений.

Добавление линий

Как только что было отмечено, тессеракт — это куб в четырех измерениях. Таким образом, хотя обычный куб имеет три измерения — обычно обозначаемые x, y и z в математических терминах — у тессеракта есть четыре — w, x, y и z. Таким образом, тессеракт — это фигура, состоящая из линий, проходящих под прямым углом в четырехмерном пространстве.

Как мы можем построить и визуализировать тессеракт? Давайте начнем с простого, знакомого объекта, в данном случае строки, а затем расширим эту строку до тессеракта, просто добавив больше строк.

Итак, начните с линии, просто лежащей перед вами, с линией, бегущей влево и вправо. Линия, если вы помните свою геометрию, существует в одном измерении. Мы будем использовать конечную линию, то есть ту, которая не заканчивается вечно, и, следовательно, наша линия будет иметь две конечные точки. Когда вы строите мысленную картину, пусть отрезок линии будет иметь любую удобную длину, скажем, фут или метр, или длину маленькой линейки, то есть шесть дюймов.

Теперь давайте последовательно добавим отрезки для построения нашего тессеракта.

Сначала добавьте линию в каждой конечной точке исходной линии, добавив две линии, идущие перпендикулярно исходной линии. Мы можем представить исходную линию на рабочей поверхности, как отмечалось, бегущую влево и вправо, и мы добавили бы эти добавленные линии на стол, убегая от нас. Добавление этих перпендикулярных линий дает U-образную фигуру с отверстием от нас. Теперь соедините свободные концы двух добавленных линий с другой линией (то есть закройте отверстие). Теперь у нас есть квадрат.

С точки зрения отслеживания, наша фигура, наш квадрат, содержит четыре угловые точки, четыре линии и одну квадратную поверхность. Каждая угловая точка является пересечением двух линий. Мы перешли от одного к двум измерениям (или 1D к 2D).

Продолжайте идти. К каждой угловой точке квадрата добавьте линию, проходящую перпендикулярно квадрату. Эти четыре добавленные линии теперь будут расширяться от столешницы. Сложение этих четырех линий создает фигуру, похожую на четырехногий стол, лежащий на столешнице вверх ногами. Теперь соедините четыре свободные конечные точки перпендикулярных линий с добавленными линиями. Четыре будут необходимы. Это закрывается на рисунке, чтобы дать нам куб.

С точки зрения отслеживания, теперь у нас есть, с нашим кубом, восемь угловых точек, двенадцать линий, шесть квадратных поверхностей и один куб. Каждая угловая точка является пересечением трех линий, а также трех квадратов. Мы прошли от двух до трех измерений (или от 2D к 3D).

Обратите внимание, что в этот момент вы можете искать в Интернете изображения квадратов и кубов, поэтому у вас есть визуальная картинка, а также проверьте, можете ли вы подсчитать количество угловых точек, линий и квадратов.

Продолжайте идти. Но будьте готовы, так как мы сейчас входим в четвертое пространственное измерение (которое существует математически, несмотря на то, что не существует в нашем поле зрения).

Хорошо, к каждой из восьми угловых точек куба добавьте линию. Теперь мы не можем поместить эти линии перпендикулярно (мы должны, но мы исчерпали наши визуальные размеры), поэтому рисуем эти линии, идущие по диагонали наружу от каждой из восьми угловых точек. Это дает нам фигуру, которая может быть аналогом космического спутника в форме куба с восьмой антенной, торчащей в восьми разных направлениях.

Когда вы визуализируете эту конструкцию, у нас теперь есть восемь свободных точек, по одной на неприкрепленном конце каждой из добавленных линий. С немного большей визуализацией мы видим, что восемь свободных конечных точек разграничивают куб, поэтому соедините восемь свободных конечных точек с добавленными линиями (всего двенадцать), чтобы создать этот куб. Этот добавленный куб представляет собой больший куб, который охватывает куб из предыдущего шага.

Теперь у нас есть тессеракт. Опять же, как с кубом и квадратом, будет полезно искать изображения тессеракта.

Изучите изображение. В наиболее распространенном изображении, с небольшой концентрацией, вы можете увидеть структуру куб в кубе. Вы также можете увидеть серию из двенадцати трапециевидных внутренних поверхностей, соединяющих внутренний куб с внешним кубом. Эти внутренние поверхности определяют шесть кубов в форме трапеции между этими внутренними и внешними кубами. Трапециевидные кубы состоят из стороны от большего внешнего куба, стороны от меньшего внутреннего куба и четырех сторон от внутренней сети трапеций, простирающейся между большим и меньшим кубом. Обратите внимание, что в реальном тессеракте трапеции являются идеальными квадратами, но становятся трапециями, учитывая ограничения того, что мы можем нарисовать.

С точки зрения отслеживания, у нас теперь есть 16 угловых точек, 32 линии, 24 квадрата, 8 кубов и, конечно, один тессеракт. Каждая угловая точка — это пересечение четырех линий, шести квадратов и четырех кубов. Хотя рисунок представлен в трех измерениях, мы перешли с трех измерений на четыре (то есть с 3D на 4D).

От линий к лучам

Эта последовательность построения последовательного добавления строк показывает — логически — как может быть построен тессеракт и какие компоненты он содержит. Но мы нарисовали последний набор линий, набор из восьми, критические линии, продолжающиеся в четвертое измерение, в виде диагоналей в наших существующих трех измерениях. Хотя логически достаточно, мы взяли короткий путь (нарисовав 4-мерные линии в виде диагоналей в 3D) на самом интересном шаге, включающем четвертое измерение. Таким образом, мы получили логическую процедуру для создания тессеракта, но, вероятно, только частичное интуитивное понимание четвертого измерения.

Итак, из этой логической последовательности построения тессеракта, как мы можем усилить интуитивный смысл нашего четвертого пространственного измерения?

Давайте сделаем это, фактически продвигаясь через реальные шаги, необходимые для создания физического тессеракта с твердым материалом. Мы выберем стальные балки в качестве нашего структурного элемента. Если что-то может обеспечить визуальную и визуальную картину, то сильные, здоровенные стальные балки считаются ведущими кандидатами. Так что же делать на самом деле при создании настоящего тессеракта со стальными балками?

Предположим, я правильно предположу, что мы можем представить себе создание трехмерного куба из стальных балок. Нам понадобится двенадцать балок, четыре в квадрате у основания, четыре в вертикальном направлении в виде колонн и еще четыре в квадрате наверху, чтобы создать куб. У нас двенадцать лучей и восемь угловых точек по три луча в каждом. Все лучи находятся под прямым углом.

Как бы мы сейчас поступили? Стоя перед кубом, каким будет наш следующий ход? Для нашего следующего шага мы выполним ход, никогда ранее не сделанный человеком (и пока не возможный, а может быть, и всегда невозможный). С нашей позиции впереди мы развернемся из трех измерений этого исходного куба и окажемся в другом наборе из трех измерений. Это будет ось «сквозь зеркало», которая выведет нас из нашего начального набора измерений x-y-z к тому, что содержит наше четвертое измерение. Мы повернемся к пространству, определенному набором измерений x-z-w. Мы можем себе представить, что для этого нужно пройти через портал типа «Звездные врата».

Давайте подумаем об этом. Наши балки, наши краны для подъема балок, наши сварочные горелки, наши физические тела существуют в трех измерениях. Мы не можем превратить их в четырехмерные объекты. Таким образом, если мы хотим расширить наш куб в четвертое измерение (направление w, учитывая, что наш начальный куб начался в наборе xyz из трех измерений), мы должны переместить нашу машину и себя в трехмерное пространство, которое содержит этот четвертый измерение. И учитывая, как только что отмечалось, что все элементы конструкции (включая нас самих) решительно фиксируются как трехмерные объекты, если мы хотим добавить w-измерение, нам нужно оставить измерение позади.

Таким образом, мы оставляем позади y-размерность, глубину, чтобы подобрать w-размерность.

Когда мы выполняем этот гипотетический поворот и прибываем в наше новое пространство, мы входим в пространство, примерно такое же нормальное, как и то, которое мы оставили. Гравитационные работы, наше оборудование работает, звуки и прицелы одинаковы. Наши коллеги по строительству разговаривают и мы слышим. Наша окружающая среда имеет тот же трехмерный вид и ощущение, что и та, которую мы оставили.

Один пункт, однако, выделяется как серьезно другой. Мы смотрим на наш куб, и восемь лучей (из двенадцати) в кубе исчезли. Зачем? Помните, что при выборе направления «w» нам нужно было удалить направление «y». Это удаляет глубину, которую мы ранее могли видеть, где находились восемь столбцов. У нас есть только высота и ширина из пространства x-y-z.

Таким образом, в нашем новом наборе из трех измерений мы увидим только четыре луча, два вертикальных и два горизонтальных, которые составляют квадрат в передней части исходного куба. Другие столбцы, конечно, все еще существуют, но они находятся за пределами наших трех измерений.

Мы также замечаем что-то необычное в четырех лучах, которые мы можем видеть. Мы видим только их переднюю поверхность; мы не видим никакой глубины для них. Четыре балки выглядят как плавающие в пространстве четыре фасада, тонкие, как бумага. Зачем? Помните, что измерение глубины, y-измерение, было оставлено, чтобы приобрести w-измерение. Таким образом, мы потеряли не только визуальный контакт с восемью другими лучами, но также и с глубиной четырех лучей, которые мы можем частично видеть.

Теперь в нашем новом наборе из трех измерений нам будет легко построить четыре луча, проходящих горизонтально (или перпендикулярно) от углов квадрата, созданного четырьмя видимыми лучами. Квадрат, созданный четырьмя видимыми лучами, лежит в плоскости x-z, поэтому, чтобы быть перпендикулярными, наши новые лучи будут расширяться в w-измерение. Затем мы завершим нашу работу, построив четыре балки между свободными концами только что установленных перпендикулярных балок. Это дает нам куб в пространстве x-z-w.

Мы завершаем (и восхищаемся) нашу работу, и, поскольку нам теперь достаточно комфортно с нашим пространственным поворотом, мы возвращаемся к исходному пространству x-y-z. Мы идем к задней части оригинального куба и поворачиваемся тем же способом "сквозь зеркало" в другое трехмерное пространство, на этот раз все еще пространство x-z-w, но другую координату "y". Если раньше мы оставляли позади размерность y в передней части куба (при y = 0), то теперь оставляем позади размерность y в задней части куба (при y = 1).

Теперь мы испытали ключевой нюанс 4D пространства. Пространство достаточно широкое, чтобы различное трехмерное пространство x-z-w существовало при каждом различном значении y. Каждое значение, т. Е. У = .1 и.11 и.111 и так далее. Это много трехмерных пространств. (По аналогии подумайте, сколько 2D-квадратов существует в 3D-кубе.) В любом случае, в нашем пространстве xzw при y = 1 мы прикрепляем еще четыре балки, перпендикулярно задней части нашего исходного куба, а также соединяем свободные концы из этих лучей с четырьмя лучами. Мы возвращаемся к нашему исходному пространству x-y-z.

Нам чего-то не хватает, в частности, четырех соединительных балок на конце восьми перпендикулярных балок. Мы построили только восемь из этих ограждающих балок, и нам нужно двенадцать. Мы идем к левой стороне нашего куба (то есть х = 0) и поворачиваемся. Для этой оси мы оставляем позади размерность x и вводим пространство y-z-w. Мы видим четыре луча, выходящие из оригинальных кубов, но только два луча, соединяющие свободные концы. Мы поставили две другие соединительные балки на место. Мы поворачиваемся к пространству y-z-w с правой стороны исходного куба (где x = 1) и строим два оставшихся луча на свободных концах.

Таким образом, наши усилия создали восемь лучей, простирающихся от исходного куба, и двенадцать соединительных лучей на свободных концах этих восьми новых лучей. Это завершил наш тессеракт. При этом мы выполнили следующие шаги:

  • Построил двенадцать балок в нашем доме x-y-z space
  • Добавлены четыре перпендикулярных балки и четыре вмещающие балки в пространстве x-z-w спереди
  • Добавлены еще четыре перпендикулярных и еще четыре ограждающих балки в другом пространстве X-Z-W
  • Добавлены еще два ограждающих луча в каждом из двух посещений двух разных пространств Y-Z-W

Мы перемещались между различными трехмерными пространствами, используя гипотетический (более похожий на вымышленный) портал.

Движущийся куб: 3D в двухмерном пространстве

Давайте продолжим. Мы путешествовали по разным трехмерным пространствам, чтобы создать наш тессеракт. Мы хотим отступить и полюбоваться этим. На что это похоже?

Теперь наш тессеракт существует в 4D, в то время как мы существуем только в 3D. Поэтому мы не можем видеть весь тессеракт одновременно; мы можем видеть только трехмерную часть тессеракта. Но хотя мы можем видеть только трехмерную часть, мы можем видеть различные трехмерные части, перемещая тессеракт впереди нас. Теперь искусство визуализации движущегося 4D-объекта, вероятно, является чем-то, что у нас ограничено (скорее всего, нет). Итак, чтобы научиться тому, как это сделать, как увидеть объект более высокого измерения, движущийся в пространстве более низкого измерения, давайте потренируемся, но в более простой ситуации. Мы сделаем шаг вниз и представим трехмерный объект, куб, который будет виден существу в 2D, то есть существу в плоской плоскости.

Теперь нам нужно немного информации о существе 2D. Такое существо может видеть только спереди и сбоку, а не вверх или вниз, и в дальнейшем такое существо будет прилипать к 2D-плоскости. Чтобы представить это, представьте тонкую плоскую плоскость в трех футах от земли. Наше двумерное существо могло двигаться вдоль и вокруг этой плоскости и видеть стороны чего-либо, что пронизывало плоскость, но не могло смотреть или двигаться выше или ниже плоскости. Это может показаться ограничивающим, но это было бы всем этим двумерным существом. (Точно так же, как все, что мы знаем, это 3D, так и точно так же, как мы не чувствуем себя ограниченными, не имея возможности видеть в 4D.)

Теперь, чтобы развить наш навык на объектах с более высокой размерностью, движущихся в пространстве с более низкой размерностью, представьте себе куб, плавающий перед вами, над 2D-плоскостью (тот, который плавает на три фута над землей и является домом для нашего 2D-существа). Куб — это, скажем, фут с каждой стороны, а нижняя грань куба выровнена (параллельна) плоскости нашего двумерного существа. Куб состоит только из частей каркаса, то есть стороны пусты, а куб — это просто каркас.

Теперь запустите куб, двигаясь медленно вниз. В конце концов, нижняя грань куба попадает в плоскость.

Для нас это пересечение грани куба с плоскостью происходит как раз от плавного перемещения куба вниз. Но что видит 2D? Помните, что двумерное существо может видеть только объекты на плоскости и, следовательно, не может видеть куб, приближающийся сверху. Только когда куб касается квадрата, 2D может видеть куб.

Таким образом, если 2D находится в квадрате, куб, или, скорее, нижняя грань куба, появляется без предупреждения. Нижняя грань взрывается из ниоткуда, как объект, плавающий в воздухе.

Теперь продолжайте двигать куб. Для нас, будучи в 3D, мы видим, как передняя грань куба перемещается за плоскость двумерного существа, и четыре линии, соединяющие нижнюю и верхнюю грани куба, теперь пересекают плоскость. Для нас это просто куб, продолжающий плавное движение вниз.

Но для существа 2D нижняя грань исчезает так же загадочно, как и появилась. Помните, что 2D-существо не может видеть вне своей 2D-плоскости, поэтому не может видеть весь куб. Таким образом, в то время как мы в 3D можем следить за перемещением нижней грани куба, двумерное существо не может видеть под поверхностью плоскости и, следовательно, не может следовать за уходом нижней грани.

Когда нижняя грань исчезла, что теперь видит 2D? 2D-существо может видеть только ту часть куба, которая пересекает плоскость. И как только нижняя грань куба пройдет, какая часть куба пересекает плоскость? Четыре линии, соединяющие нижнюю грань и верхнюю грань куба. И не на всю длину этих строк. 2D-существо может просто видеть четыре отдельные точки, пересекающие 2D-квадрат. И точно так же, как нижняя поверхность всплыла в воздухе, эти четыре точки были бы просто их, странно мерцающими.

Теперь вы, вероятно, можете представить, что будет дальше. Когда куб продолжается вниз, задняя верхняя грань куба пересекает 2D-плоскость. 2D-существо теперь видит, как верхняя грань появляется спонтанно, а затем исчезает, как нижняя грань.

Итак, почему 2D так загадочно смотрит на 3D-куб? Этот пример иллюстрирует причину. 2D-существо видит только 2D-срезы, и, кроме того, не может смотреть вперед, чтобы увидеть, что приближается. Третье измерение создает отличное укрытие для объектов, которые могут втолкнуться в мир двумерного существа.

Не вдаваясь в подробности, давайте кратко рассмотрим, что бы 2D-объект увидел, если бы куб прошел точку 2D-плоскости вперед. В другом мире наклоните и поверните куб так, чтобы одна из восьми угловых точек была обращена вниз к плоскости 2D.

В таком случае у куба никогда не будет грани или даже линии, выровненной по поверхности 2D-квадрата. 2D существо будет наблюдать куб как серию странно движущихся точек, начиная с одной точки, затем трех, затем шести, затем трех, а затем одного, когда наклонный куб перемещается через свою 2D-плоскость.

Путешествующий Тессеракт: 4D в трехмерном пространстве

С этой концепцией объектов более высокого измерения, движущихся в пространстве более низкого измерения, давайте рассмотрим тессеракт. Как мы ожидаем, если не считать большого открытого парка, что мы увидим, когда тессеракт пройдет через наш 3D-срез? Мы начнем с тессеракта в соответствии с нашим пространством. Это означает, что высота, глубина и ширина (x, y и z) тессеракта совпадают с нашим 3D.

Немного размышлений может предложить, по аналогии с 2D-иллюстрацией, что мы увидим, как часть тессеракта внезапно появляется из ниоткуда, просто зависая в воздухе над открытым парком. И это было бы правильно. Мы не можем видеть четвертое измерение, поэтому, когда тессеракт сместился к нашему трехмерному пространству (скажем, из w = 1 в то место, где наше пространство xyz находится при w = 0), мы не будем наблюдать его до тех пор, пока точно не появится передняя часть тессеракта. достиг w = 0.

Что бы мы увидели? Когда мы строили тессеракт, мы могли построить полный куб в любом заданном трехмерном пространстве. Таким образом, при правильном выравнивании тессеракта мы увидим, как передний куб тессеракта внезапно всплывает. Это имитирует, в 3D, внезапное появление квадрата, когда мы перемещали куб через плоскость для нашего 2D-существа.

Тогда в один миг передний кубик исчезнет. Что дальше? Теперь мы увидим восемь точек, висящих в воздухе. Это будут балки, соединяющие передний и задний кубы, и балки, содержащие кубы в трехмерном пространстве, которое включает в себя четвертое измерение. Математически, если мы существуем в пространстве x-y-z, эти другие кубы существуют в пространствах w-y-z, w-x-z и w-x-y.

В другой вспышке появится задний куб. Помните, как у куба есть шесть квадратов снаружи, у тессеракта есть восемь кубов. Два из этих кубов лежат в пространстве x-y-z. (И два лежат в каждом из других трехмерных пространств, то есть w-y-z, w-x-z и w-x-y, поэтому два куба, умноженные на четыре, дают восемь кубов.)

Если мы используем нашу визуализацию 3D-куба, проходящего через 2D-пространство, это дает сильную аналогию для 4D-тессеракта, проходящего через 3D-пространство. Мы могли бы даже построить 2D-объект (квадрат), проходящий через одномерное пространство, линию. Аналогия подойдет. Таким образом, в принципе, когда объект более высокого измерения проходит через пространство более низкого измерения, в пространстве более низкого измерения можно наблюдать только срезы объекта. И, как только что видно, существо в пространстве более низкого измерения не может видеть приближающийся объект.

Теперь давайте наклоним точку тессеракта вперед. Подобно наклону точки куба вперед, мы больше не увидели бы никаких расширенных частей тессеракта. Мы будем видеть только точки, поскольку наклонные лучи тессеракта теперь пронизывают наше трехмерное пространство, но никогда не выравниваются с ним. Мы будем наблюдать одну точку, четыре точки, двенадцать точек, затем четыре, затем одну. Мы не увидели бы ни куб, ни квадрат, ни линию с полным наклоном тессеракта.

Математически, если наше пространство x-y-z находится в точке с координатой w = 0, то для наклонного тессеракта все лучи имеют конечные точки с разными значениями w-координат.

Если бы мы частично наклонили тессеракт, мы могли бы выровнять квадраты. В частности, с частично наклоненным тессерактом при правильном выравнивании мы получили бы два квадрата с параллельными квадратами. Как и раньше, фигуры внезапно появлялись, исчезали и зависали в воздухе.

Движущаяся камера

Теперь быстро, давайте рассмотрим дальнейший способ создания 4D-объекта. Мы, наверное, все видели первые кадры космических фильмов, где камера показывает длину огромного галактического межзвездного крейсера. Камера стоит так близко, а корабль настолько большой, что мы не видим сразу весь корабль, только небольшие частичные виды.

Если мы пойдем с этим, если мы представим огромный космический крейсер, длиной в несколько тысяч ярдов, мы могли бы представить себя в небольшом шаттле, держащем камеру и зависшим на несколько футов над корпусом, когда мы спускаемся вниз. Наше поле зрения x-y-z будет ограничено несколькими десятками ярдов в любом направлении, поскольку различные придатки и очертания корабля почти наверняка затенят нашу способность видеть намного больше.

Мы могли видеть весь корабль с течением времени, путешествуя вверх и вниз, вокруг, внутрь и наружу, оставаясь в пределах ограничения (по аналогии), что мы должны отклоняться не более чем в несколько футов от корпуса. Так что время здесь действует как четвертое измерение, точно так же, как w-пространственное направление. На нашем космическом корабле, когда мы путешествуем в четвертом измерении (время здесь), мы можем в конечном итоге увидеть весь корабль. Тем не менее, мы никогда не сможем построить полную визуальную картину, даже после того, как будем путешествовать по всему кораблю, поскольку внешние контуры корабля могут быть настолько сложными и обширными, что не позволят нам соединить многочисленные маленькие фрагменты, которые мы наблюдаем в единое целое.

Эта аналогия имитирует тессеракт. Наблюдая за этим, мы не можем собрать воедино целостный образ. Отдельные трехмерные фрагменты, которые мы можем наблюдать, настолько разобщены, что нам не дают построить картину всего объекта.

Значимость

Это путешествие в 4D визуализацию служит какой-то функции? Конечно, для некоторых это умственное упражнение интересно, или создает проблему, или вызывает любопытство, или служит отвлечением или заполнителем времени.

Но имеет ли визуализация в дополнительных измерениях большую цель?

Ответ, вероятно, да (некоторым) физикам, астрономам и математикам, выполняющим серьезную, строгую работу. Эти люди, несомненно, могут работать с чисто математическими выражениями дополнительных измерений, не нуждаясь в ментальной картине. Но мысленные картины добавляют математический формализм, чтобы раскрыть динамику ситуации. Ментальные образы вызывают интуитивные и логические скачки и раскрывают симметрии и решения, которые иначе не могут появиться.

Для человека, не вовлеченного в тщательное исследование, имеет ли это большую цель? Я бы сказал, да, определенно. Любой человек, ищущий некоторый уровень концептуальной полноты в изучении мира, столкнулся бы с научно-популярными статьями, ссылающимися на дополнительные измерения. Чтобы объединить такие ссылки вместе и в других понятиях, таких как теология (где может быть Бог?) Или метафизика (что такое существование и что значит существовать), требуется набор инструментов ментальных конструкций. Хотя способность обрабатывать 4D-визуализацию может и не быть в начале списка, ее наличие, как и наличие практически любого инструмента, дает преимущество. И использование инструмента, как и любого другого инструмента, увеличивает общую способность использовать весь спектр инструментов или, в этом случае, общую способность манипулировать целым массивом концепций, 4D или нет.

Поэтому рассматривайте это исследование 4D и тессерактов не только как возможный предмет, представляющий особый интерес, но и как элемент общей умственной ловкости, чтобы добавить к вам интеллектуальный ящик для инструментов.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *